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BWL1:
Grundlagen und
Unternehmens-
software
Beschreibende
Statistik
Lernziele
▪ Sie können die Grundbegriffe der Statistik anwenden
und von einander abgrenzen
▪ Sie können Lage- und Streumaße bestimmen und
interpretieren
▪ Sie können Häufigkeitsverteilungen erstellen und
analysieren
▪ Sie können Korrelationen bestimmen
▪ Sie sind in der Lage Regressionsanalysen
durchzuführen
Statistik ist das Handwerkszeug in vielen Bereichen der BWL
wie Marktforschung, Logistik, Controlling …
Abbildungsquelle: https://www.handicapverbessern.com/wp-content/uploads/2017/08/Ziel-im-golf-visualisieren.jpg
Beschreibende Statistik
Grundlagen Häufigkeits- Lage- & Zweidim-
verteilungen Streumaße ensionale
Häufigkeits-
verteilungen
Korrelation
&
Regression
Ursprünge der Statistik
▪ Babylon (ca. 3.800 v. Chr.)
▪ Schätzung zur Erhebung von
Steuern
▪ Schätzung, wie viele Soldaten ein
Land bereit stellen kann.
▪ Griechische Antike
▪ Aufzeichnungen über
Getreideeinfuhr und zollpflichtige
Ware
▪ Römisches Reich
▪ regelmäßige Volkszählungen
Moderne Statistik
▪ John Graunt (17. JH)
▪ Analyse von Sterbe- und
Geburtenraten
▪ Cardano, Pascal, Fermat (17. JH)
▪ Untersuchungen zu mathematischen
Grundlagen im Glücksspiel
▪ Wahrscheinlichkeitsrechnung
▪ Kolmogorow (19. JH)
▪ Begründer der modernen
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Definition & Gebiete der Statistik
-
Zusammenstellung von Daten → informatorische Fundierung von Entscheidungen Wahr-
-
Methodenlehre Be- scheinlich- schreibende keits- → Herausfiltern von Statistik rechnung entscheidungsrelevanten Informationen aus den verfügbaren DatenSchließende Statistik
Missbrauch der Statistik
Traue keiner Statistik, die Du nicht selbst
gefälscht hast.
(vermeintlich Winston Churchill, wahrscheinlich Joseph Goebbels)
Quelle: Schwarze, Grundlagen d. Statistik
Beispiel für Fehlinterpretation
Umfrage unter Schülern und Schülerinnen
„Das Internet bleibt als Informationsquelle Nr. 3 für Ausbildung und Studium
stabil.“
Achtung: die Anzahl hat zwar nur um 3 (von 39 auf 36) abgenommen. Allerdings haben an der 2.
Umfrage ca 30% mehr teilgenommen. Die Internetnutzung ist also im Vergleich zur ersten Umfrage
erheblich gesunken.
Beispiel für Scheinkorrelation
Fehlinterpretation:
Zusammenhang zwischen der Anzahl an Horstpaaren und
den Geburten in Deutschland
Quelle: Statistisches Bundesamt
Ablauf statistischer Untersuchungen
Planung
Datengewinnung
(Erhebung)
Datenaufbereitung
Statistische
Analyse
Interpretation und
Dokumentation
1. Planung
▪ Formulierung der Ziele der
Untersuchung Planung
▪ Detaillierte Definition des
Untersuchungsgegenstands
▪ Abgrenzung des
Untersuchungsgegenstands
▪ Sachlich
▪ Räumlich
▪ Zeitlich
▪ Berücksichtigung von Vorgaben und
eventuellen Randbedingungen
2. Datengewinnung (Erhebung)
▪ Primärerhebung (schriftlich oder mündlich) Datengewinnung
▪ Unmittelbar durch (Erhebung)
▪ Experiment
▪ Beobachtung
▪ Befragung
▪ Sekundärerhebung
▪ greift auf bestehende Daten zurück
Problematik: z.B. Fragestellung, ohne
Antworten zu beeinflussen (Suggestivfragen)
3. Datenaufbereitung
▪ Erfassung der Daten Datenaufbereitung
▪ Kontrolle und eventuelle Fehlerkorrektur
▪ Ordnen der Daten für weitere
Verarbeitung
▪ Eventuell erste Darstellung in Tabellen
oder Grafiken
4. Statistische Analyse
▪ Auswertung und Analyse der Daten Statistische
Analyse
▪ Anwendung mathematischer und
statistischer Verfahren und Methoden
▪ z.B. Ermittlung von Mittelwerten und
Häufigkeiten
▪ Untersuchung von Zusammenhängen
5. Interpretation & Dokumentation
▪ Präsentation der Ergebnisse Interpretation und
Dokumentation
▪ Darstellung grafisch, tabellarisch oder in
Einzelwerten
▪ Kommentierung der Daten
▪ Nutzbarmachung z.B. für
Entscheidungsprozesse
Grundbegriffe der Statistik
▪ Merkmalsträger t (t=1,…,n)
= Einzelobjekte einer statistischen Untersuchung
▪ Statistische Masse
= Gesamtheit der Merkmalsträger
▪ Statistisches Merkmal
= bei der statistischen Masse untersuchte Eigenschaft
▪ Beobachtungswerte (Merkmalswerte) xt (t=1,…, n)
=bei den Merkmalsträgern festgestellte Ergebnisse
▪ Merkmalsausprägungen xi (i=1,...,m)
= theoretisch mögliche Ergebnisse
Grundbegriff: Merkmalsträger (statistische Einheit)
Die statistische Einheit (Merkmalsträger) ist das Einzelobjekt einer
statistischen Untersuchung. Sie ist Träger der Information(en), für die man sich
bei der Untersuchung interessiert.
Identifikationskriterien für statistische Einheiten:
• Sachlich
• Räumlich
• Zeitlich
Beispiele:
▪ Untersuchung der Abfüllmengen eines Automaten zum Füllen von
Bierflaschen
→ statistische Einheit: die abgefüllten Bierflaschen
▪ Untersuchung der Lebensdauer von Autoreifen
→ statistische Einheit: die einzelnen Autoreifen
Beispiel Merkmalsträger (statistische Einheit)
Prognose des Wahlergebnisses einer Kommunalwahl in einer Stadt
→ statistische Einheit: der Bürger
Identifikationskriterien:
▪ Sachlich: wahlberechtigter Bürger
▪ Räumlich: Gebiet der Großstadt
▪ Zeitlich: Tag der Umfrage
Grundbegriff: Statistische Masse
Auch Grundgesamtheit, Population, Kollektiv, …
Eine statistische Masse ist eine Gesamtheit (Menge) von statistischen
Einheiten mit übereinstimmenden Identifikationskriterien.
Die sachlichen, räumlichen und zeitlichen Identifikationskriterien ergeben sich
aus der Zielsetzung bzw. Aufgabenstellung der statistischen Untersuchung.
Beispiel:
Alle wahberechtigten Bürger einer Kommune
Rechenbeispiel: Statistische Einheit (Merkmalsträger) und
statistische Masse (Grundgesamtheit)
Ermittlung der durchschnittlichen Studiendauer von Studierenden an öffentlichen
deutschen Hochschulen bis zum Abschluss der ersten berufsqualifizierenden
Prüfung (Diplom, Bachelor, Magister, Staatsexamen) im Jahr 2025.
Statistische Einheit (Merkmalsträger): ____________________
Statistische Masse (Grundgesamtheit): ____________________
Identifikationskriterien
• Sachlich: ____________________
• Räumlich: ____________________
• Zeitlich: ____________________
Lösung: Statistische Einheit (Merkmalsträger) und statistische
Masse (Grundgesamtheit)
Ermittlung der durchschnittlichen Studiendauer von Studierenden an öffentlichen
deutschen Hochschulen bis zum Abschluss der ersten berufsqualifizierenden
Prüfung (Diplom, Bachelor, Magister, Staatsexamen) im Jahr 2025.
Statistische Einheit (Merkmalsträger): Studierende
Statistische Masse (Grundgesamtheit): Alle Studierenden
Identifikationskriterien
• Sachlich: Arten der Abschlüsse
• Räumlich: öffentliche deutsche Hochschulen
• Zeitlich: Jahr 2025
Grundbegriff: Stichprobe
Eine Stichprobe ist eine nach bestimmten Methoden ausgewählte Teilmenge der
Grundgesamtheit (Statistische Masse), die möglichst repräsentativ sein sollte. Wird bei
einer statistischen Untersuchung nur ein Teil der interessierenden statistischen Masse
erfasst, dann heißt dieser Teil Stichprobe.
Bemerkungen:
▪ Häufig ist die Untersuchung der Grundgesamtheit z.B. aus zeitlichen oder
Kostengründen nicht möglich. Dann erfolgt die Untersuchung auf der Stichprobe.
▪ Mit welchen Fehlern können die Ergebnisse und Aussagen von der Stichprobe auf
die Grundgesamtheit übertragen werden?
▪ Eine einfache Übertragung oder Verallgemeinerung von der Stichprobe auf die
Grundgesamtheit ist unzulässig.
▪ Weiterführend in BWL1 nicht behandelt
Beispiel:
▪ Befragung einer „repräsentativen“ Anzahl von Wahlberechtigten für eine
Wahlprognose.
Grundbegriff: Statistisches Merkmal (Beobachtungsmerkmal)
Eine bei einer statistischen Untersuchung interessierende Eigenschaft einer statistischen
Einheit heißt Merkmal. Die statistischen Einheiten heißen auch Merkmalsträger.
Beispiele:
a) Statistische Einheit: Student
→ Merkmale: Alter, Schulabschluss, Studienfach, Statistiknote, …
b) Statistische Einheit: Landwirtschaftlicher Betrieb
→ Merkmale: Ackernutzfläche, Rinderbestand, Umsatz, Anzahl Mitarbeiter, …
Grundbegriff: Merkmalswert (Beobachtungswert)
Eine bei einer statistischen Untersuchung an einer bestimmten statistischen Einheit
festgestellte Merkmalsausprägung heißt Merkmalswert oder Beobachtungswert.
Bemerkung:
Bei einer statistischen Analyse sind die (konkreten tatsächlichen) Merkmalswerte die
Daten, die ausgewertet werden.
Beispiel:
Merkmalswerte für Studierende eines bestimmten Kurses
Merkmale
Schwerpunkt: Management, Medien, IT
Alter: 20, 21, 24, 26
Semester: 3.
Grundbegriff: Merkmalsausprägungen
Die möglichen Ausprägungen (Werte oder Kategorien), die ein Merkmal
annehmen kann, heißen Merkmalsausprägungen.
Bemerkung:
Die Merkmalswerte sind eine Teilmenge der Merkmalsausprägungen.
Beispiele:
Merkmal Geschlecht: Ausprägungen: männlich, weiblich.
Merkmal Studienfach: Ausprägungen: BWL, Jura, Wirtschaftsinformatik, …
Merkmal Alter: Ausprägungen: 1, 2, 3, 4, 5, … , 20, 21, 22, …
Merkmal Semester: Ausprägungen: 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., ….
Merkmal Note: Ausprägungen: 1, 2, 3, 4, 5, (6)
Merkmal Bundesland: Ausprägungen: NRW, Bayern, RLP, Hessen, …
Grundbegriff: Häufbarkeit
Merkmale sind häufbar
Bei manchen Merkmalen kann es vorkommen, dass einzelne Merkmalsträger
mehrere Merkmalsausprägungen pro Merkmal aufweisen. Solche Merkmale
nennen man häufbar.
Beispiele: Eigenschaften von häufbaren Merkmalen
▪ Können in einer Häufigkeitsverteilung dargestellt
Doppelbeschäftigung werden
Mehrere Wohnorte ▪ Können in Kategorien oder Klassen eingeteilt
werden können, sodass man die Häufigkeit jeder
Mehrere Staatsbürgerschaften Kategorie oder Klasse zählen kann.
Mehrere Fahrzeuge ▪ Kategoriale als auch diskrete Merkmale sind
typischerweise häufbar
Grundbegriff: Klassierung von Merkmalsausprägungen
Eine Klassierung (Zusammenfassung, Gruppierung) von
Merkmalsausprägungen wird in der Statistik häufig vorgenommen, wenn
die Anzahl der verschiedenen Merkmalsausprägungen zu einer
unübersichtlichen Auswertung führt.
Beispiele:
▪ Umsatz (z.B. 100-200 Mio. €; 201-300 Mio €; …)
▪ Alter (z.B. 10-20;21-30;31-40; ..)
▪ Leistung eine Autos
Merkmalstypen der Statistik
auch kategorial
Quelle: Prof. Dr. M. Schmidt, THM FB Wirtschaft: Skript Statistik für BWL
Skalierungen I
Skala Beschreibung Beispiel
Nominalskala einfache Aufzählung,keine Geburtsdatum, Farben,
qualitativ
Rangfolge Berufe
Ordinalskala es besteht eine natürliche Schulnoten
Rangfolge, aber die
Abstände sind nicht
qualitativ
aussagefähig
Intervallskala Differenz zwischen zwei Temperatur
Angaben ist aussagefähig,
quantitativ aber kein eindeutiger Null-
punkt
Verhältnisskala Verhältnis zwischen zwei Umsatz, Gewinn
Werten ist
quantitativ aussagefähig,ebenso der
Nullpunkt
Quelle: Prof. Dr. M. Schmidt, THM FB Wirtschaft: Skript Statistik für BWL
Skalierungen II
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Beschreibende Statistik
Grundlagen Häufigkeits- Lage- & Zweidim-
verteilungen Streumaße ensionale
Häufigkeits-
verteilungen
Korrelation
&
Regression
Häufigkeitsverteilung
Die grundlegende Aufbereitungsform statistischer Daten ist die Darstellung in
Form einer Häufigkeitsverteilung. Beziehen sich die Daten auf nur ein
Merkmal der statistischen Erhebung, so spricht man von einer
eindimensionalen Häufigkeitsverteilung. Die Darstellungsform erfolgt
typischerweise in tabellarischer oder grafischer Form.
Liegen mehrere Merkmale in der Urliste vor, so ergibt sich eine Datenmatrix,
wobei sich jede Zeile auf einen Merkmalsträger und jede Spalte auf ein
Merkmal bezieht. Der Inhalt einer Matrix-Zelle ist der jeweilige
Beobachtungswert.
Erste typische Fragenstellungen sind für die Merkmale
▪ Anzahl der Merkmalsausprägungen
▪ Durchschnitt (Mittelwert)
▪ Summen
▪ Abweichungen
Beispiel einer Häufigkeitsverteilung
Beispiel: Personalerhebung
Als Beispiel dient die Personaldatei eines kleinen Unternehmens.
Für die Personalerhebung werden für die insgesamt n = 25 Beschäftigten
(= Merkmalsträger) u.a. die folgenden Merkmale erfasst.
Merkmale für Personalerhebung:
▪ Personalnummer
▪ derzeitige Abteilungszugehörigkeit
▪ Ausbildung (höchster Schul- bzw. Hochschulabschluss)
▪ Jahr des Eintritts in die Firma
▪ derzeitiges monatliches (Brutto-)Gehalt
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Urliste Personalerhebung
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Bezeichnungen in einer Häufigkeitsverteilung
Am Beispiel: Personalerhebung
Symbol Bezeichnung Beispiel
X Merkmal Abteilung
xi Merkmalsausprägungen Finanzen, Vertrieb
ni Absolute Ausprägungen Anzahl
Vertriebsmitarbeiter
n (oder m) Gesamtzahl der Elemente 25 (alle Mitarbeiter)
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Drei Arten von Häufigkeitsverteilungen
Häufigkeiten werden unterschieden in
▪ absolute Häufigkeiten ni
𝑚
Beispiel: Ein Unternehmen verkauft in einem Monat 500
𝑛𝑖 𝑖 = 1 … 𝑚 mit 𝑛𝑖 = 𝑛
Einheiten eines bestimmten Produkts. Die absolute 𝑖=1
Häufigkeit der Verkäufe beträgt 500.
▪ relative Häufigkeiten hi 𝑚
𝑛𝑖
Beispiel: In einer Umfrage geben 80 von 200 befragten ℎ𝑖 = mit ℎ𝑖 = 1
𝑛
𝑖=1
Kunden an, mit dem Service zufrieden zu sein. Die relative
Häufigkeit der zufriedenen Kunden beträgt 0.4 (80 / 200).
𝑛𝑖
▪ prozentuale Häufigkeiten ⋅ 100
𝑛
Beispiel: In einem Unternehmen sind von 100 Mitarbeitern im
Durchschnitt 5 Mitarbeiter krankgeschrieben. Die
prozentuale Häufigkeit der Abwesenheiten beträgt 5% (5 /
100 * 100).
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Beurteilung der Merkmale
Für jedes Merkmal wird die Anzahl der Ausprägungen, Skalierung und
Merkmalsart bestimmt
Merkmal Anzahl der Merkmals- Skalierung Merkmalsart
ausprägungen
Abteilung 5 Nominalskala Qualitativ
(z. B. Vertrieb, IT, HR,
Produktion, Einkauf)
Ausbildung 4 Ordinalskala Qualitativ
(z. B. Bachelor, Master,
Ausbildung, kein
Abschluss)
Eintrittsjahr 35 Intervallskala Quantitativ – diskret
(z. B. 1995–2025)
Bruttogehalt 100+ (z. B. in 100 €- Verhältnisskala Quantitativ – stetig
Schritten)
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Tabellarische Darstellung
relative
Die tabellarische Darstellung eignet sich für qualitative Merkmale Häufigkeiten
absolute Häufigkeiten
Nr. Merkmals- Strichliste Häufigkeiten ni hi
ausprägungen xi
1 E: Entwicklung ||||| |||| 9 0.18
2 F: Finanzen ||||| || 7 0.14 9/50
3 G: Geschäftsführung ||||| |||| 9 0.18
4 S: Schulung ||||| |||| 9 0.18
5 T: Test/Anwendungen ||||| |||| 9 0.18
6 V: Vertrieb ||||| || 7 0.14
(Summe) 50 1.0
7/50
Gesamtzahl
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Darstellung als Säulendiagramm
Die Darstellung als Säulendiagramm eigenet sich für qualitative Merkmale.
Hier mit relativen Häufigkeiten.
Säulendiagramm
0,2
0,16
0,12
0,08
0,04
0
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Darstellung als Kreisdiagramm
Die Darstellung als Kreisdiagramm zeigt die prozentualen Häufigkeiten
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Komparative Merkmale
▪ Komparative Merkmale weisen eine eindeutige Rangfolge auf und
können daher der Größe nach aufsteigend sortiert werden.
▪ Beispiele: Schulnoten, Handelsklassen, Bonitätsrating
▪ Eine Häufigkeitsverteilung ist unimodal, wenn die Folge der Häufigkeiten
nur ein relatives Maximum aufweist, sie ist multimodal, wenn die Folge
mehrere relative Maxima aufweist.
Ein relatives
Mehrere Maxima
Maximum
Unimodale Verteilung Multimodale Verteilung
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Kumulierte komparative Merkmale
▪ Komparative Merkmale können aufgrund der Rangfolge
(Sortierung) auch kumuliert (d.h. aufsummiert) dargestellt
werden.
▪ Kumulierte absolute Häufigkeiten:
𝑖
𝑁𝑖 = 𝑛𝑘 = 𝑁𝑖−1 + 𝑛𝑖 𝑖 = 1…𝑚 𝑁0 = 0
𝑘=1
▪ Kumulierte relative Häufigkeiten:
𝐻𝑖 = ∑𝑖𝑘=1 ℎ𝑘 = 𝐻𝑖−1 + ℎ𝑖 (𝑖 = 1, … , 𝑚) 𝐻0 = 0
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Tabellarische Darstellung komparativer Merkmale
i xi ni hi Ni Hi
1 Mittlere 30 0.3 30 0.3
Reife
2 Abitur 25 0.25 55 0.55
3 Bachelor 20 0.2 75 0.75
4 Master 15 0.15 90 0.9
5 Promotion 10 0.1 100 1.0
Summe 100 1.0
Symbol Bezeichnung
xi Merkmalsausprägungen
ni Absolute Ausprägungen
hi Relative Ausprägung
n Gesamtzahl der Elemente
Ni Kummulierte absolute Häufigkeit
Hi Kummulierte relative Häufigkeit
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Säulendiagramm nicht kummuliert
Verteilung des Merkmals „Ausbildung“ mit relativen Häufigkeiten.
Noch nicht kummuliert !
Verteilung des Merkmals
Ausbildung
1
0,9
0,8
Häufigkeit
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Balkendiagramm kummulierter Merkmale
Verteilung des komparativen Merkmals „Ausbildung“ als kummulierte
relative Häufigkeiten
Kumulierte Häufigkeiten der
Ausbildungsstufen
Promotion
Master
Bachelor
Abitur
Mittlere Reife
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Zweidimensionale Häufigkeiten
Werden zwei Merkmale in einer statistischen Auswertung betrachtet, so heißt
diese Statistik zweidimensionale Häufigkeitsverteilung. Die Summe in der
Randzeile bzw. Randspalte nennt man Randverteilungen.
Alternative Bezeichnungen:
▪ Kontingenztabelle
Merkmal
▪ Korrelationstabelle Geschlecht
Randspalte
▪ Kreuztabelle (Marktforschung)
▪ Pivot-Tabelle (Excel)
Merkmal
Abteilung
Randzeile
Kreuztabelle als „gestapeltes Säulendiagramm“
Streudiagramm
Möchte man eine eventuelle Beziehung zwischen zwei Merkmalen pro Merkmalsträger
beobachten, so verwendet man Streudiagramme (auch Blasendiagramme).
Darstellung der Korrelation zwischen Eintrittsjahr und Gehalt als „Blasendiagramm“
Stetige Merkmale
Bei stetigen (oder quasi-stetigen) Merkmalen ist der Vergleich zwischen den einzelnen
Werten sinnvoll. Zur Darstellung von solchen Zeitreihen verwendet man häufig
Liniendiagramme.
Dax-Entwicklung der letzten 10 Jahre
Klassierung bei stetigen Merkmalen
▪ Bei stetigen quantitativen Merkmalen existieren i.d.R. sehr viele
Merkmalsausprägungen (Umsatz pro Unternehmen, Bilanzsumme, Preis pro
Fahrzeug, verkaufte Menge, …)
▪ Bei einer Auswertung der Häufigkeitsverteilung wären fast alle ni gleich 1.
▪ Für eine übersichtliche Darstellung der Häufigkeiten bildet man daher Klassen
Klassen:
Klassenmitten:
Klassenbreiten:
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Tabellarische Darstellung quantiatives stetiges
Beispiel
i Kᵢ = [aᵢ; bᵢ[ xᵢ wᵢ nᵢ hᵢ Hᵢ
1 [0; 3000[ 1500 3000 20 0.2 0.2
2 [3000; 5000[ 4000 2000 25 0.25 0.45
3 [5000; 7000[ 6000 2000 30 0.3 0.75
4 [7000; 10000[ 8500 3000 15 0.15 0.9
5 [10000; 20000[ 15000 10000 10 0.1 1.0
Summe 100 1.0
Symbol Bezeichnung
xi Merkmalsausprägungen
ni Absolute Ausprägungen
Klasse von 10.000 inklusive
wi Klassenbreite
bis 20.000 exklusive
hi Relative Ausprägung
n Gesamtzahl der Elemente
Ni Kummulierte absolute Häufigkeit
Hi Kummulierte relative Häufigkeit
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Verteilung stetiger Merkmale
Ein Problem bei Klassierungen liegt im Informationsverlust, wo die einzelnen
Beobachtungswerte in der Klasse liegen (verteilt sind). Übliche und plausible
Annahmen zur Verteilung der Werte innerhalb einer Klasse sind:
▪ Einpunkt-Verteilung: Werte liegen auf einem Punkt in der Klassenmitte
▪ Rechteck-Verteilung: stetige gleichmäßige Verteilung (Streuung) in der
Klassenbreite (Dichte der Beobachtungswerte durch Flächeninhalt gegeben).
Normierte relative Häufigkeit:
Einpunkt-Verteilung Rechteck-Verteilung
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Klassierungs-Funktionen
Die grafische Darstellung einer klassierten Häufigkeit erfolgt meist mittels eines
Histogramms oder der klassierten empirischen Verteilungsfunktion.
Die zugehörige Histogrammfunktion lautet:
Die (stetige, monoton steigende) klassierte empirische Verteilungsfunktion
lautet:
Es gilt folgender Zusammenhang:
▪ h*(x) ist die Ableitung von H(x)
▪ H(x) ist die Stammfunktion von h*(x)
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Histogrammfunktion für stetige Merkmale
Histogramm der Verteilung des Merkmals „Bruttogehalt“
Relative Häufigkeit
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Klassierte empirische Verteilungsfunktion
Empirische Verteilungsfunktion des Merkmals Bruttogehalt
100%
Kumulierte relative
Häufigkeit
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Beschreibende Statistik
Grundlagen Häufigkeits- Lage- & Zweidim-
verteilungen Streumaße ensionale
Häufigkeits-
verteilungen
Korrelation
&
Regression
Lagemaße & Streuungsmaße
Aufgabe der statistischen Datenanalyse ist es, aus dem i.d.R.
unübersichtlichen Datenmaterial (Urliste) die relevanten spezifischen
Informationen herauszufiltern, die für ein zu lösendes
Entscheidungsproblem benötigt werden. Die Daten werden entweder
direkt aus den Beobachtungswerten oder aus den gruppierten bzw.
klassierten Häufigkeitsverteilungen ermittelt.
Die wichtigsten Kenngrößen sind Lagemaße (Mittelwerte) und
Streuungsmaße.
Lagemaße geben eine zentrale Tendenz der Beobachtungswerte an.
→ wichtigstes Maß: das arithmetische Mittel
Streuungsmaße geben an, wie stark sich die Beobachtungswerte
unterscheiden (streuen).
→ wichtigste Streuungsmaße: Varianz / Standardabweichung
Lagemaß: Modus
Das einfachste Lagemaß ist der dichteste Wert (engl. dense) oder
Modus.
Der Modus ist die Merkmalsausprägung, die am häufigsten
vorkommt.
Der dichteste Wert (Modus) ist unmittelbar aus einem Balkendiagramm
(Säulendiagramm) ersichtlich und der einzig sinnvolle Mittelwert für
qualitative Merkmale.
Beispiel: diskrete Merkmale der Personaldaten
▪ Abteilung: _________________
▪ Ausbildung: _________________
▪ Eintrittsjahr: _________________
Lagemaße: Median oder Zentralwert
▪ Der Median (oder auch Zentralwert) ist der Wert, der in einer
geordneten Beobachtungsreihe in der Mitte steht.
Beispiel:
Der Median für die Werte 4, 2, 1, 1, 37 lautet: 2
(geordnete Reihe: 1, 1, 2, 4, 37)
Bemerkung:
In einer geordneten Reihe gibt der Median (der Wert, nicht der
Rangplatz) an, dass die Hälfte der Beobachtungswerte kleiner (oder
gleich) als der Median und die andere Hälfte größer als der Median ist.
Der Median steht also in der Mitte aller Beobachtungswerte.
Lagemaße: arithmetisches Mittel
Das arithmetische Mittel (auch Mittelwert oder Durchschnitt) ist das am
häufigsten verwendete Maß. Es ist ein summarisches Maß und somit nur bei
quantitativen Merkmalen anwendbar.
N: Anzahl der Werte
xi: Wert i
i: Zählvariable
Bemerkungen:
▪ Das arithmetische Mittel hat eine sogenannte Schwerpunkteigenschaft, d.h.
die Summe der Abweichungen der einzelnen Ausprägungen vom Mittelwert ist
gleich 0:
▪ Die Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert ist minimal:
Beispiele zum arithmetischen Mittel
Altersdurchschnitt der Studierenden:
▪ Annette (22), Bernd (23), Michael (19), Thomas (24):
▪ → (22 + 23 + 19 + 24) / 4 = 88 / 4 = 22 J
Kaufpreis eines PKW:
▪ Audi (45 T€), BMW (40 T€), Opel (25 T€), Porsche 100T€):
→ (45 + 40 + 25 + 100) / 4 = 210 / 4 = 52,5 T€
Das arithmetische Mittel: Gruppierung
Das arithmetische Mittel kann bei gruppierten Verteilungen nicht einfach aus den
Gruppenausprägungen abgeleitet werden. Hier hilft das gewichtete arithmetische Mittel.
Beispiel: Personalbogen
Ansatz 1: (2006 + 2007 + 2008 + 2009 + 2010) / 5 = 10.040 / 5 = 2008
Fehler: Die Anzahl der jeweiligen Ausprägungen (Gewichtung) ist hier nicht
berücksichtigt.
Lösung: das gewichtete arithmetische Mittel
Ansatz 2 (gewichtet):
Das arithmetische Mittel: Klassierung
Die Berechnung des arithmetische Mittel bei klassierten Verteilungen kann als
Spezialfall des gewichteten arithmetischen Mittels interpretiert werden. Da man
die einzelnen Ausprägungen nicht kennt, nimmt man zur näherungsweisen
Ermittlung die Häufigkeiten sowie die jeweiligen Klassenmitten.
m: Anzahl der Werte
hi: relative Häufigkeit
xi: einzelner Wert
i: Zählvariable
Beispiel:
Streuungsmaße
Mit Hilfe der Streuungsmaße erhalten wir Informationen, wie weit die einzelnen
Beobachtungswerte zusammen liegen bzw. wie weit sie gestreut (verteilt) sind.
2 Verteilungen mit
unterschiedlichen
Streuungen und gleichem 2 Verteilungen mit gleicher
Mittelwert Streuung und
unterschiedlichem Mittelwert
Quelle: Prof. Dr. M. Schmidt, THM FB Wirtschaft: Skript Statistik für BWL
Spannweite einer Verteilung
▪ Erstes einfaches Maß ist die Spannweite
▪ Grober Anhaltspunkt über die Streuung der Werte
▪ Messung: Differenz (Abstand) zwischen dem größten und kleinsten
Beobachtungswert.
Eigenschaften:
▪ Einfach zu ermitteln
▪ Sehr abhängig von „Ausreißern“ der Beobachtungswerte nach unten bzw.
nach oben
▪ Aussagekraft für die gesamte Verteilung sehr begrenzt
▪ Typischer Anwendungsbereich:
Angabe von Höchst- und Tiefstwerten bei Aktienkursen pro Tag oder pro
Jahr.
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Quantile, Quartile und Quartilsabstand
Quantile (häufig auch Perzentile) geben in einer vom kleinsten zum größten
Wert geordneten Beobachtungsreihe mit n Werten denjenigen Beobachtungs-
wert an, bis zu dem ein Anteil p (Prozent) der Beobachtung angefallen ist.
natürliche
Zahlen
(ganzzahlig)
⌈ ⌉ = Aufrunden
nicht
Beispiel: x3 x4 (Ceiling)
ganzzahlig
Aufrunden
Alternativ: p = 0,75
Anwendungsbeispiele für Quantile
▪ Marktanteile: Die größten drei Unternehmen einer
Branche haben einen Marktanteil von 80%
▪ Verteilung von Vermögen, Einkommen,
Grundbesitz, …
Die x-% Ärmsten eines Landes haben ein
Einkommen bis zu y Euro.
Die x-% Reichsten (Vermögendsten) Einwohner
eines Landes halten y % des Gesamtvermögens.
▪ Ergonomie:
In der Automobilbranche werden die Autos auf 90%
der Bevölkerung ausgerichtet: Die 5% kleinsten
Frauen und 5% größten Männer bleiben
unberücksichtigt.
Quartile als spezielle Quantile
Es werden drei Quartile (latein.: Viertel) betrachtet, die jeweils als
ein Vielfaches von 25% definiert sind:
• Das erste Quartil q0,25 mit Werten bis 25%
• Das zweite Quartil q0,5 mit Werten bis 50%
• Das dritte Quartil q0,75 mit Werten bis 75%
Bemerkung:
Das zweite Quartil entspricht dem Median.
Grafisches Beispiel für drei Quartile
Bestimmung der Quartile für das Bruttogehalt (x)
- Quartil: 25% 2. Quartil: 50% 3. Quartil: 75%
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Quartilsabstand
Der Quartilsabstand Q (auch Inter-Quartilsabstand) ist definiert als der
Abstand zwischen dem dritten und dem ersten Quartil:
Der Quartilsabstand gibt die Spannweite der mittleren 50% der
Beobachtungswerte an, d.h. die 25%-kleinsten sowie die 25%-größten
Werte bleiben unberücksichtigt.
Vorteil:
Die Ausreißer nach unten bzw. nach oben verzerren nicht so stark den
Wert der Spannweite, d.h. die Angabe der häufigsten
Beobachtungswerte ist aussagekräftiger.
Box-Whisker-Plot (auch: Box-Plot)
Für eine erste schnelle Übersicht der Beobachtungswerte wird häufig ein
sogenannter Box-Whisker-Plot eingesetzt
Drittes Quartil
Erstes Quartil
untere Grenze
obere Grenze
Whisker = Antenne
Durchschnittliche absolute Abweichung (1/2)
Fragestellung:
Wie kann man die Streuung der Werte messen, d.h. der Streuung eine Maßzahl
zuordnen?
Idee: „Messen der Abstände“ (zu einer Referenzzahl)
Zur Erinnerung:
Die Summe der Abstände
aller Beobachtungswerte
vom Mittelwert ist 0.
Streuung als Abweichung vom Mittelwert
Durchschnittliche absolute Abweichung (2/2)
Fragestellung:
Wie kann man die Streuung der Werte messen, d.h. der Streuung eine Maßzahl
zuordnen?
Lösung (1): „Messen der absoluten Abstände“ (zu einer Referenzzahl)
→ Es werden die absoluten Abstände vom arithmetischen Mittelwert bzw.
Median ermittelt und summiert.
Durchschnittliche absolute Abweichung
vom Mittelwert:
Betragszeichen = Ergebnis
immer positiv
vom Median
Varianz und Standardabweichung
Fragestellung:
Wie kann man die Streuung der Werte messen, d.h. der Streuung eine Maßzahl
zuordnen?
Lösung (2): „Messen der quadrierten absoluten Abstände“ (zu einer
Referenzzahl). Eine der am häufigsten eingesetzten Methoden.
Es werden die quadrierten absoluten Abstände vom arithmetischen Mittelwert
ermittelt und summiert:
Varianz:
Standardabweichung:
Wurzel aus der Varianz
Variationskoeffizient
Sollen Streuungsvergleiche für verhältnisskalierte Merkmale angestellt
werden, bei denen die Beobachtungswerte in den verglichenen
Verteilungen verschiedene Größenordnung haben, so ist es meistens
sinnvoll, die absoluten Streuungsmaße mit einem passenden
Mittelwert zu normieren. Dadurch entsteht ein relatives
Streuungsmaß.
→ Am gebräuchlichsten ist der Variationskoeffizient als Quotient aus
Standardabweichung und arithmetischem Mittel:
Standardabweichung
Variationskoeffizient: Arithmetisches Mittel
Eine typische Anwendung ist der Vergleich der Streuung von
Einkommen der Bevölkerung in Industrieländern im Vergleich zu
Entwicklungsländern.
Beschreibende Statistik
Grundlagen Häufigkeits- Lage- & Zweidim-
verteilungen Streumaße ensionale
Häufigkeits-
verteilungen
Korrelation
&
Regression
Zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen
▪ Bisher n Merkmalsträger mit m Merkmalen betrachtet
▪ Konzentration auf jeweils ein Merkmal
▪ Häufige Fragestellung: ob und welche Zusammenhänge es zwischen
unterschiedlichen Merkmalen pro Merkmalsträger gibt.
▪ Zusammenhang geht bei isolierter Auswertung pro Merkmal verloren
▪ Informationen daher in Form einer mehrdimensionalen
Häufigkeitsverteilung
Beispiel 2dim-Häufigkeitsverteilungen
Umsatz und Stückzahl pro Produkt
Quelle: PimpMyChart.com
Beobachtungswerte und Merkmalsausprägungen
Zweidimensionale
Beobachtungswerte (bei den
Symbol Bezeichnung
Merkmalsträgern jeweils festgestellte
Kombinationen) der Merkmale X und Y. xt Merkmalsausprägung von X
yt Merkmalsausprägung von Y
(xi,yj) Wertepaar x und i
p Menge aller Ausprägungen von X
q Menge aller Ausprägungen von Y
Zweidimensionale
Merkmalsausprägungen (bei den
Merkmalsträgern jeweils theoretisch
mögliche Kombinationen) der Merkmale
X und Y.
Da jedes x mit jedem y kombiniert
werden kann, gibt es p x q
zweidimensionale Ausprägungen v
von (X, Y)
Beispiel zweidimensionale Häufigkeitsverteilung
Stellen wir uns vor, wir untersuchen den Zusammenhang zwischen Bildung (X)
und Einkommensklasse (Y) bei einer Gruppe von Personen.
Merkmal X (Bildung):
• x1: Kein Abschluss
• x2: Schulabschluss
• x3: Hochschulabschluss
→ p=3
Merkmal Y (Einkommen):
• y1: < 1.000 €
• y2: 1.000–2.000 €
• y3: > 2.000 €
→ q=3
Mögliche Kombinationen: 3x3=9 wie z. B.:
• (x1,y1): Kein Abschluss, < 1.000 €
• (x3,y3): Hochschulabschluss, > 2.000 €
• usw.
Absolute und relative Häufigkeiten
zweidimensionale absolute
Häufigkeiten:
Symbol Bezeichnung
nij Absolute Häufigkeit der
Merkmalskombination von x und y
an der Stelle i, j
hij relative Häufigkeit der
Merkmalskombination von x und y
zweidimensionale relative an der Stelle i, j
Häufigkeiten: n Gesamtzahl der Elemente
Besipiel 2dim-Verteilung Personalerhebung (1/4)
Die Urliste der Personaldaten enthält für die 25 Beschäftigten
(Merkmalsträger) des Unternehmens jeweils die Merkmale Abteilung,
Ausbildung, Eintrittsjahr und Gehalt. Wir erhalten damit eine
vierdimensionale Matrix mit Beobachtungswerten, um z.B. folgendes zu
analysieren:
In welcher Abteilung ist der Anteil der Hochschulabsolventen am höchsten?
Gibt es deutliche Gehaltsunterschiede zwischen den Abteilungen?
Steigen die Gehälter mit zunehmender Qualifikation und/oder
Betriebszugehörigkeit?
Besipiel 2dim-Verteilung Personalerhebung (2/4)
Zur besseren Übersicht fassen wir die Merkmale Ausbildung und
Abteilung zu zwei übergeordneten Klassen zusammen:
Ausbildungen zu Qualifikation:
• Nicht-Akademiker (Mittlere Reife, Abitur)
• Akademiker (Bachelor, Master, Diplom, Promotion)
Abteilungen zu Geschäftsbereich:
• Bereich I: (Geschäftsleitung, Finanzen)
• Bereich II: (Entwicklung und Test/Anwendungen)
• Bereich III: (Schulung und Vertrieb)
Besipiel 2dim-Verteilung Personalerhebung (3/4)
absolute und relative Häufigkeitsverteilung
absolut
relativ
Beispiel 2dim-Verteilung Personalerhebung (4/4)
zweidimensionale Verteilung
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Beschreibende Statistik
Grundlagen Häufigkeits- Lage- & Zweidim-
verteilungen Streumaße ensionale
Häufigkeits-
verteilungen
Korrelation
&
Regression
Korrelation
Bei quantitativen Merkmalen verwendet man zur Beurteilung des
Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalen die Korrelationsmaße.
Dabei wird sowohl die Intensität (Stärke; Enge der Veribindung) als auch
die Richtung des Zusammenhangs (positiv/negativ) gemessen:
Positive Korrelation liegt vor, wenn die zweidimensionalen
Beobachtungspaare (xi, yi) gleichsinnig sind, d.h. es gilt tendenziell
→ Je größer xi, desto größer ist auch yi
bzw. je kleiner xi desto kleiner auch yi
Negative Korrelation liegt vor, wenn die zweidimensionalen
Beobachtungspaare (xi, yi) gegensinnig sind, d.h. es gilt tendenziell
→ Je größer xi, desto kleiner ist yi.
Positive vs. negative Korrelation
Streuungsdiagramm positiv Streuungsdiagramm negativ
korrelierter Beobachtungswerte korrelierter Beobachtungswerte
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Beispiele für unkorrelierte Verteilungen
Beispiele für unkorrelierte Verteilungen
Unkorreliertheit (keine lineare Unabhängigkeit (somit auch
Beziehung) Unkorreliertheit)
Stärkeres Konzept als
Unkorrelierrtheit
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Kovarianz
Die grundlegende Kennzahl für die Korrelationsanalyse zweier quantitativer
Merkmale X und Y ist die Kovarianz. Sie ist wie folgt definiert
Im Gegensatz zur Varianz kann die Kovarianz auch negative Werte annehmen.
Das Vorzeichen gibt die Richtung des Zusammenhangs der beiden Merkmale an:
Korrelationskoeffizient
Der absolute Wert der Kovarianz liefert keinen guten Anhaltspunkt für
eine Interpretation der Intensität. Dazu wird die Kovarianz mittels der
jeweiligen Standardabweichungen der Merkmale X und Y normiert und
man erhält den Korrelationskoeffizienten r:
Kovarianz von x und y Korrelationskoeffizient
Varianz von y
Bemerkung:
Liegen die Beobachtungspaare (x, y) auf einer steigenden bzw. fallenden
Geraden, so nimmt der Korrelationskoeffizient r den Extremwert 1
(steigend) bzw. -1 (fallend) an.
Korrelationsverläufe
Korrelationskoeffizient mit extremer Korrelation (r=1 bzw. r = -1)
Extreme positive Korrelation Extreme negative Korrelation
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Richtung und Intensität
Faustregeln zur Interpretation des Korrelationskoeffizienten r bzgl.
Richtung (positiv, negativ) und Intensität (stark, schwach):
X und Y sind unabhängig verteilt →
Regressionsanalyse
▪ Weiterentwicklung der Korrelationsanalyse für quantitative Merkmale
▪ Annahme: Abhängigkeit eines Merkmals Y (Zielgröße: Umsatz, Gewinn, …)
von einem Merkmal X (Instrumentgröße: Absatzpreis, Werbeausgaben, …).
▪ Diesen Zusammenhang beschreibt die Regressionsfunktion y = f(x)
▪ Tatsächlichem Beobachtungswert yt und berechneter Funktionswert f(xt) i.d.R.
auch eine Abweichung (Fehler oder Störung: Residuum) e
▪ lineare Regressionsmodell:
Schätzwert
▪ mit dem Schätzfehler e
Wert
▪ Anforderung:
• Bestimmung der Regressionskoeffizienten a und b.
• Beurteilung der Aussagefähigkeit (Güte) der Regressionsfunktion für
Prognosen
Kleinst-Quadrate-Prinzip
▪ Als Optimalitätskriterium wird das Kleinst-Quadrate-Prinzip angewandt, d.h.
die Summe der quadrierten Fehler ist minimal.
▪ Gerade so durch die Punktwolke legen, daß die Summe der horizontalen
Abstandsquadrate minimiert wird
Abweichung
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Regressionskoeffizient & Regressionsgerade
Ermittlung der Regressionskoeffizienten. Es gilt zu minimieren:
Arithmet. Mittel aus
Es ergibt sich als Regressionsgerade: x*y
mit den Regressions-
koeffizienten a, b:
Quadrat des
Arithmet. Mittel aus Mittelwerts
den quadrierten x-
Werten
Der Steigungsparameter b für den Anstieg der Regressionsgeraden zeigt folgenden
Zusammenhang zur Korrelation zwischen den Merkmalen X und Y:
▪ steigende Regressionsgerade positive Korrelation
▪ fallende Regressionsgerade negative Korrelation
▪ horizontale Regressionsgerade keine Korrelation
Regressionsanalyse: Bestimmtheitsgard
Das Regressionsmodell ist umso besser, je größer der Anteil der erklärten
Streuung an der Gesamtstreuung ist. Dieser Anteil r² heißt Bestimmungsgrad:
r ist der Korrelationskoeffizient
Praktische
Rechenformel
Übliche
Lehrbuchformel
mit
und
Fallunterscheidung Zusammenhang
Fallunterscheidung: perfekter vs. nicht-linearer Zusammenhang
Perfekter linearer Zusammenhang Kein linearer Zusammenhang
Grobe Orientierung für die Interpretation des Bestimmungsgrades:
Quelle: Wewel, Statistik für BWL
Beispiel Regressionsanalyse (1/4)
Zusammenhang Jahresumsatz und
Ladenfläche von 12 Filialen
Errechnete Arbeitstabelle
Quelle: Bleymüller. Statistik für Wirtschaftswissenschaftler
Beispiel Regressionsanalyse (2/4)
Aus der Arbeitstabelle
Formel Regressionskoeffizient a
Formel Regressionskoeffizient b
Regressionsfunktion
Quelle: Bleymüller. Statistik für Wirtschaftswissenschaftler
Beispiel Regressionsanalyse (3/4)
Regressionsfunktion
Quelle: Bleymüller. Statistik für Wirtschaftswissenschaftler
Beispiel Regressionsanalyse (4/4)
Bestimmtheitsgrad r2
12 Filialen 96% der Variation der Jahresumsätze werden durch die
Regressionsfunktion erklärt.
Quelle: Bleymüller. Statistik für Wirtschaftswissenschaftler
Anwendungsbeispiele Regressionsanalyse
▪ Umsatzprognose: Beziehung zwischen
Werbeausgaben und Umsatz untersuchen, um
vorherzusagen, wie sich Änderungen im
Marketingbudget auf den Umsatz auswirken
▪ Preissetzung: Einfluss des Preises eines Produkts
auf die Verkaufszahlen bestimmen. Dies hilft
Unternehmen, optimale Preisstrategien zu
entwickeln.
▪ Kundenzufriedenheit: Zusammenhang zwischen
verschiedenen Faktoren (z. B. Servicequalität,
Wartezeit) und der Kundenzufriedenheit
analysieren, um Verbesserungsmaßnahmen
abzuleiten
▪ Marktforschung: Einfluss von demografischen
Faktoren (z. B. Alter, Einkommen) auf das
Kaufverhalten untersuchen