BWL 1 – Statistik

Zusammenfassung

Schlüsselbegriffe

Kernkonzepte

1. Ablauf statistischer Untersuchungen

1. Planung: Zielformulierung, Definition und zeitliche/räumliche/sachliche Abgrenzung des Untersuchungsgegenstands.
2. Datengewinnung (Erhebung):
   • Primärerhebung: Neue Datenerhebung durch Experimente, Beobachtungen oder Befragungen.
   • Sekundärerhebung: Nutzung bereits vorhandener Datenbestände.
3. Datenaufbereitung: Datenerfassung, Bereinigung (Fehlerkontrolle) und erste Strukturierung in Urlisten.
4. Statistische Analyse: Anwendung mathematisch-statistischer Verfahren (Mittelwertberechnung, Verteilungsanalysen etc.).
5. Interpretation & Dokumentation: Visualisierung und Nutzbarmachung der Ergebnisse für Entscheidungen.

2. Skalenniveaus (Messbarkeitsniveaus)

3. Häufigkeitsverteilungen

• Absolute Häufigkeit ($n_i$): Anzahl der Merkmalsträger mit der Ausprägung $x_i$. Es gilt: $\sum n_i = n$.
• Relative Häufigkeit ($h_i$): Anteil an der Gesamtzahl: $h_i = \frac{n_i}{n}$. Es gilt: $\sum h_i = 1$.
• Kumulierte absolute Häufigkeit ($N_i$): Aufsummierte absolute Häufigkeiten bis zur Klasse $i$: $N_i = N_{i-1} + n_i$.
• Kumulierte relative Häufigkeit ($H_i$): Aufsummierte relative Häufigkeiten bis zur Klasse $i$: $H_i = H_{i-1} + h_i$.

Stetige Merkmale & Klassierung

• Klassenbreite ($w_i$): $w_i = b_i - a_i$.
• Klassenmitte ($x_i$): $x_i = \frac{a_i + b_i}{2}$.
• Dichtefunktion / Normierte relative Häufigkeit ($h^*_i$): Zur korrekten Darstellung im Histogramm bei ungleichen Klassenbreiten wird die relative Häufigkeit normiert: $h^*_i = \frac{h_i}{w_i}$.

4. Lagemaße (Mittelwerte)

• Modus (Dichtester Wert): Die am häufigsten auftretende Merkmalsausprägung. Einziger sinnvoller Mittelwert für nominalskalierte Daten.
• Median (Zentralwert): Teilt eine geordnete Datenreihe in zwei gleich große Hälften. Mindestens ordinalskaliert.
• Arithmetisches Mittel ($\bar{x}$): Der Durchschnitt. Nur für quantitative Daten zulässig.
  • Schwerpunkteigenschaft: Die Summe der Abweichungen vom Mittelwert ist 0: $\sum (x_i - \bar{x}) = 0$.
  • Gewichtetes arithmetisches Mittel: Bei gruppierten Daten mit absoluten Häufigkeiten: $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum x_i \cdot n_i = \sum x_i \cdot h_i$.
  • Klassiertes arithmetisches Mittel: Berechnung erfolgt näherungsweise unter Verwendung der Klassenmitten $x_i$ als Repräsentanten.

5. Streuungsmaße

• Spannweite (Range): Differenz zwischen Maximum und Minimum: $R = x_{max} - x_{min}$. Sehr anfällig für Ausreißer.
• Quantile / Quartile:
  • $1. \text{ Quartil } (q_{0,25})$: $25%$ der Daten liegen darunter.
  • $2. \text{ Quartil } (q_{0,5})$: Entspricht dem Median.
  • $3. \text{ Quartil } (q_{0,75})$: $75%$ der Daten liegen darunter.
• Quartilsabstand ($Q$): $Q = q_{0,75} - q_{0,25}$. Gibt die Spannweite der mittleren $50%$ der Daten an. Robust gegenüber Ausreißern.
• Box-Plot: Visuelle Darstellung aus Minimum, $q_{0,25}$, Median, $q_{0,75}$ und Maximum.
• Durchschnittliche absolute Abweichung:
  • Vom arithmetischen Mittel: $\frac{1}{n} \sum |x_i - \bar{x}|$
  • Vom Median (minimaler Wert): $\frac{1}{n} \sum |x_i - \tilde{x}|$
• Varianz ($s^2$): Mittlere quadrierte Abweichung vom arithmetischen Mittel: $s^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$.
• Standardabweichung ($s$): Quadratwurzel der Varianz. Besitzt dieselbe Einheit wie die Daten: $s = \sqrt{s^2}$.
• Variationskoeffizient ($V$): Relatives Streuungsmaß zur Normierung (Vergleichbarkeit unterschiedlicher Größenordnungen): $V = \frac{s}{\bar{x}}$ (für verhältnisskalierte Daten).

6. Zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen

• Die Summen in den Randspalten bzw. Randzeilen heißen Randverteilungen (die eindimensionalen Verteilungen von $X$ bzw. $Y$).

7. Korrelations- und Regressionsanalyse

Korrelation (Zusammenhangsentdeckung)

• Kovarianz ($s_{xy}$): $$s_{xy} = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$$
  • Positive Kovarianz $\Rightarrow$ gleichsinniger Zusammenhang (je mehr $X$, desto mehr $Y$).
  • Negative Kovarianz $\Rightarrow$ gegensinniger Zusammenhang (je mehr $X$, desto weniger $Y$).
  • Kovarianz $\approx 0 \Rightarrow$ Unkorreliertheit.
• Korrelationskoeffizient ($r$ nach Bravais-Pearson): $$r = \frac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y}$$
  • Liegt immer im Bereich $[-1; 1]$.
  • $r = 1$: Perfekter positiver linearer Zusammenhang (alle Punkte auf steigender Geraden).
  • $r = -1$: Perfekter negativer linearer Zusammenhang (alle Punkte auf fallender Geraden).
  • $r = 0$: Kein linearer Zusammenhang (Achtung: nicht-lineare Beziehungen wie Parabeln können trotzdem existieren).
  • Scheinkorrelation: Hoher Korrelationskoeffizient ohne kausalen Zusammenhang (z. B. Anzahl der Störche und Geburtenrate).

Regression (Ursachenanalyse & Prognose)

• Kleinst-Quadrate-Prinzip: Die Regressionskoeffizienten $a$ und $b$ werden so gewählt, dass die Summe der quadrierten Abweichungen (Residuen) minimiert wird ($\sum e_i^2 \to \min$).
• Direktberechnung der Regressionskoeffizienten (aus den Spaltensummen der Arbeitstabelle):
  • Regressionssteigung ($b$): $$b = \frac{n \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} = \frac{s_{xy}}{s_x^2}$$
  • Ordinatenabschnitt ($a$): $$a = \frac{\sum x_i^2 \sum y_i - \sum x_i \sum x_i y_i}{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} = \bar{y} - b \cdot \bar{x}$$
• Abweichungsquadrate für die manuelle Klausurberechnung:
  • Summe der quadrierten Residuen (Fehlerquadratsumme, $SS_{res}$): $$\sum e_i^2 = \sum y_i^2 - a \sum y_i - b \sum x_i y_i$$
  • Gesamtstreuung (Gesamtsumme der Quadrate, $SS_{tot}$): $$\sum (y_i - \bar{y})^2 = \sum y_i^2 - \frac{1}{n} \left(\sum y_i\right)^2$$
• Bestimmtheitsmaß ($r^2$): Gibt an, wie gut das Modell ist (Anteil der erklärten Varianz an der Gesamtvarianz). Entspricht dem Quadrat des Korrelationskoeffizienten $r$: $$r^2 = 1 - \frac{\sum e_i^2}{\sum (y_i - \bar{y})^2}$$
  • $r^2 = 1$: Perfekte Modellanpassung (Fehler $e = 0$).
  • $r^2 = 0$: Modell besitzt keinerlei Erklärungswert.

Lernkarten

Übungsfragen